坐標法測量漸開線齒廓通常分為直角坐標法和極坐標法兩種。直角坐標法的主要特點是實現其測量原理的儀器結構較簡單，且兩個互相垂直的長度標準量的測量范圍不大，既易于保證精度，又易于制造。利用三坐標測量機等通用量儀，也能方便地測出齒輪實際齒廓的直角坐標值（x_i，y_i），通過對測量數據進行處理，即能求出齒輪的齒形誤差值。求解齒形誤差的算法有多種，本文給出一種精確求解齒形誤差的新算法。
　　1．漸開線的齒廓方程與法線方程
　　如圖1所示，假設漸開線的起點A位于x軸上，在直角坐標系0-xy中，漸開線方程為

　（1）

 

圖1　漸開線齒廓

式中　φ——展開角
　　　r_b——基圓半徑
　　直角坐標法測量齒輪廓時，式（1）是計算齒廓理論坐標與控制測頭運動的基礎。
　　圖1中，B點為漸開線法線與基圓的切點，其坐標為（r_bcosφ，r_bsinφ）；直線的斜率為tg?。根據漸開線的性質，與垂直，因此，直線的斜率為－1／tgφ，則過B點的漸開線的法線BK的方程為

化簡得

xcosφ＋ysinφ－r_b＝0　　　（2）

　　2．齒形誤差計算
　　由于制造與安裝誤差的影響，齒輪的實際齒廓總是存在誤差。通過測量獲得實際齒廓上一系列點的坐標，這些坐標的集合｛（x_i，y_i）｜i＝1，2，…，n｝代表了齒輪的實際齒廓。如圖2所示，假設被測點P位于漸開線的法線BK上，則P點的坐標（x_p，y_p）滿足方程（2），即

x_pcosφ_p＋y_psinφ_p－r_b＝0　　　　（3）

由上式可求出

　　　（4）

圖2　實際齒廓

　　根據GB10095-88的規定，應在漸開線的法向方向評定齒形誤差。P點的法向誤差err（i）為

　　（5）

其中　　

BK＝BA＝r_bφ_p

因此

　　　（6）

如果第i個齒面測量了n個點，則該齒的齒形誤差為

　　　（7）

如果一個齒測量了m個齒，則該齒輪的齒形誤差為　　

　　（8）

　　齒形誤差的求解過程如圖3所示。

圖3　齒形誤差求解過程

　　3．算例與說明
　　測量一個模數m＝3mm、齒數Z＝40、壓力角α＝20°的直齒輪。現測量該齒輪的某一齒廓，共測量了不均勻分布于齒面的16個點，測量結果列于下表。該表同時給出了根據本算法計算出的每點誤差值及該齒的齒形誤差值。

表　　　　　　　mm　　　　　　　　　　

序號	x	y	err
1	56．4090	－0．0034	0．004
2	56．4914	－0．0034	0．008
3	56．6274	0．0104	0．005
4	56．8178	0．0363	0．000
5	57．0611	0．0749	－0．004
6	57．3574	0．1273	－0．005
7	57．7059	0．1980	－0．004
8	58．1062	0．2893	0．000
9	58．5563	0．4074	0．004
10	59．0547	0．5564	0．007
11	59．5988	0．7423	0．006
12	60．1862	0．9688	0．000
13	60．8180	1．2315	－0．003
14	61．4920	1．5343	－0．004
15	62．2077	1．8773	0．000
16	62．9600	2．2697	0．002
Δff＝0．008－（－0．005）＝0．013

對于本文給出的齒形誤差計算方法，有兩點應予說明： 　　（1）本算法不僅適用于直齒輪的齒形誤差計算，也適用于斜齒輪的齒形誤差計算； 　　（2）當用球形測頭測量齒形誤差時，本算法能方便地修正測頭半徑的影響。其方法是將測頭的球心坐標值直接代入相關公式計算，只需在式（5）中減去球形測頭的半徑值即可。