拓撲物質形態，如具有拓撲序的量子霍爾態以及拓撲絕緣體，是近年來凝聚態物理領域最大的進展之一。在拓撲絕緣體中加入電子之間的強關聯相互作用，研究可能涌現的新的拓撲物態，以及拓撲物態之間由于相互作用驅動的拓撲相變，是人們關心的問題。前期拓撲絕緣體的理論和實驗研究，主要集中于無相互作用或弱相互作用系統，而對于強關聯電子系統中的拓撲相變和拓撲不變量的精確計算卻付之闕如，并且往往存在把無相互作用系統中的拓撲不變量計算方法簡單推廣到相互作用系統中，造成概念和實踐上的混亂等等現象。因此，如何正確計算相互作用電子系統中的拓撲不變量，探測相互作用驅動的拓撲相變和拓撲物態，是十分基礎的問題。

　　中國科學院物理研究所/北京凝聚態物理國家實驗室（籌）凝聚態理論與材料計算實驗室副研究員孟子楊，中國人民大學博士研究生何院耀、鄔漢青，教授盧仲毅組成的研究團隊，在相互作用拓撲絕緣體中拓撲不變量的數值計算方面開展了系統的工作，取得了進展。他們首先發展了計算相互作用電子系統的拓撲不變量的數值方法，并運用大規模量子蒙特卡洛計算在常見的拓撲絕緣體模型中進行了數值實現；然后，更有意思的是，他們找到并嚴格計算了幾種相互作用驅動的、沒有對稱性自發破缺的拓撲量子相變，發現目前被大量使用的、通過單粒子格林函數計算拓撲不變量的方法對于這類拓撲相變完全失效，指出了現有的拓撲不變量理論在向強關聯電子系統拓展時，不能依靠單粒子格林函數來計算，而需要在系統的集體激發中尋找拓撲信息，澄清了理論上的混亂和誤區。

　　如圖1、圖2所示，在上述研究工作的前半部分中，他們運用相互作用系統中的零頻率單粒子格林函數，設計了準確計算Z2不變量和自旋陳數的計算方法。由于量子蒙特卡洛方法都是計算有限尺寸的系統，自旋陳數因為有限尺寸效應得到的都是非整數的結果，他們借鑒了團簇動力學平均場理論中的周期化方法，提出一種針對周期函數的差值方案，有效地克服了自旋陳數結果的有限尺寸效應，使得即使對于有限尺寸系統也能計算得到整數化的自旋陳數。

　　如圖3、圖4所示，在上述研究工作的后半部分中，他們使用自己發展的計算自旋陳數的方法探測了一些相互作用驅動的、沒有對稱性自發破缺的拓撲量子相變，發現在某些直積態（拓撲平庸態，自旋霍爾電導率為0）系統中，數值計算得到了非零的自旋陳數。顯然，這個非零自旋陳數并不對應物理上可觀測的自旋霍爾電導率，因為后者在直積態為0。這說明用單粒子格林函數構造的自旋陳數在這樣的直積態中失效，而他們發現這樣的直積態的共同特點是沒有無相互作用的能帶絕緣體能與之不經歷相變地、沒有對稱性破缺地連接。

　　這個現象背后的原因在于，在無相互作用電子系統中，拓撲不變量有確定的物理意義，即對應系統可觀測的（自旋）霍爾電導率。但是在相互作用電子系統中，用單粒子格林函數構造的拓撲不變量并不對應于系統中真實的（自旋）霍爾電導率。長期以來人們一直有這樣的懷疑，但是并沒有找到真正的例子。孟子楊和盧仲毅團隊的研究工作首次通過嚴格的數值計算給出了用單粒子格林函數構造的拓撲不變量在相互作用拓撲絕緣體中失效的證據，給出了用單粒子格林函數構造的拓撲不變量的適用條件，指出了在一大類相互作用的拓撲物態中需要在系統的集體激發中尋找拓撲信息。

　　從現有的研究工作來看，相互作用電子系統中拓撲不變量的構造和分類還遠不完備，需要使用什么樣的拓撲不變量來描述相互作用量子相的拓撲性質是正在快速發展的領域。孟子楊和盧仲毅團隊這一系列工作推動了相互作用拓撲物態中拓撲不變量的數值計算和拓撲相變的研究。該工作被分為兩篇長篇幅的文章，連載發表在Physical Review B（Phys. Rev. B 93, 195163 (2016) 和 Phys. Rev. B 93, 195164 (2016)）。

　　上述工作得到了國家青年千人計劃（孟子楊），國家自然科學基金和國家基礎科學研究計劃（何院耀、鄔漢青、孟子楊、盧仲毅）的支持。量子蒙特卡洛模擬所需的大規模的并行計算在中科院物理所量子科學模擬中心、中國人民大學物理系高性能并行計算物理實驗室、天津國家超算中心天河1號、廣州國家超算中心天河2號等計算平臺上完成，計算過程中得到了天津國家超算中心的有力配合。

    圖1.（a）相互作用拓撲絕緣體中的 Kane-Mele-Hubbard 模型，系統具有最近臨躍遷t，自旋軌道耦合 lambda，三近鄰躍遷 t3，以及可以驅動系統進入能帶絕緣體的最近臨躍遷 td 和庫侖相互作用 U。（b）系統的布里淵區。

    圖2. 由三近鄰躍遷 t3/t 導致的系統拓撲相變，(a) 顯示 Z2 不變量的變化，（b）,（c）顯示系統自旋陳數的變化。在自旋陳數的變化中，L=12 和 L=18 的數據為有限尺度蒙特卡洛計算的結果，可以看到有限尺度系統的自旋陳數并沒有整數化。而從（b），（c）中的 Interpolation 結果提出的周期函數差值所得的拓撲不變量中，可以看到有限尺度效應被克服，系統自旋陳數整數化。

    圖3.（a），（ b） 相互作用拓撲絕緣體的雙層 Kane-Mele-Hubbard-Heisenberg 模型，模型中層間電子的Heisenberg J 相互作用將會導致新型的相互作用驅動的拓撲相變，相變中沒有對稱性自發破缺，系統進入拓撲平庸的 dimer-singlet 直積態。這樣的拓撲相變是用單粒子格林函數所構造的拓撲不變量所無法描述的（見圖4），系統的拓撲信息要在集體激發中尋找。

    圖4.（a），（b） 相互作用拓撲絕緣體雙層 Kane-Mele-Hubbard-Heisenberg 模型中，層間電子的Heisenberg J 相互作用導致的拓撲相變，單粒子格林函數所構造的自旋陳數，在相變的左右兩邊都是整數化的，而在大 J 的 dimer-singlet 相中，系統的自旋霍爾電導率應該為零，故其物理的自旋陳數應該為零。這就說明了，在這個相互作用驅動的拓撲相變中，單粒子格林函數不能正確反應系統的自旋霍爾電導率。